5 phương pháp để mô tả phân phối tần số
Các phương pháp sau thường được sử dụng để mô tả phân phối tần số ở dạng đồ họa: 1. Biểu đồ hoặc Biểu đồ cột 2. Biểu đồ thanh hoặc Biểu đồ thanh 3. Đa giác tần số 4. Đa giác tần số được làm mịn 5. Biểu đồ hình tròn.
Phương pháp # 1. Biểu đồ hoặc biểu đồ cột:
Đây là một trong những đáp ứng phổ biến nhất và được sử dụng rộng rãi để trình bày phân phối tần số. Biểu đồ là một tập hợp các hình chữ nhật có diện tích tỷ lệ với tần số lớp. Nó là một biểu đồ trong đó các tần số được biểu thị bằng các thanh. Biểu đồ xuất hiện dưới dạng một loạt các biểu đồ thanh được đặt cạnh nhau theo chiều dọc.
Lưu ý các thuộc tính sau của biểu đồ:
(i) Các tần số nằm dọc trục dọc và điểm số (CI) nằm dọc trục ngang.
(ii) Một giả định rằng điểm số được phân bổ đều trong khoảng thời gian của lớp, do đó cung cấp cho chúng tôi các thanh hình chữ nhật.
(iii) Tần số trong mỗi khoảng của biểu đồ được biểu thị bằng một hình chữ nhật, kích thước của khoảng là cơ sở và tần số của khoảng đó chiều cao.
(iv) Diện tích của mỗi hình chữ nhật trong biểu đồ tương ứng với tần số trong một khoảng nhất định, trong khi tổng diện tích của biểu đồ tương ứng với tổng tần số (N) của phân phối.
(v) Một biểu đồ có thể được xây dựng tốt nhất trên một biểu đồ, được cai trị với các đường ngang và dọc cách đều nhau.
Chúng ta hãy xem làm thế nào biểu đồ cho phân phối tần số có thể được xây dựng trong hai tình huống, nghĩa là khi khoảng thời gian của lớp bằng nhau và khi khoảng thời gian của lớp không bằng nhau.
Biểu đồ (khoảng cách giữa các lớp):
Bước 1:
Trong Bảng 2.12 các lớp bao gồm được đưa ra và, như bước đầu tiên, các lớp này nên được chuyển đổi thành các lớp có giới hạn lớp thực hoặc lớp thực như được đưa ra trong cột thứ hai của cùng một bảng.
Bước 2:
Nói chung, một lớp trống cũng được cho phép ở hai đầu của các lớp và được phản ánh ở hai đầu cực của thang ngang, nghĩa là 9, 5 và 99, 5 (xem Hình 2.1). Điều này cải thiện khả năng đọc của biểu đồ và cũng hữu ích trong việc xây dựng một đa giác tần số.
Bước 3:
Sau đó, các giới hạn lớp thực này sau đó được vẽ cùng với trục ngang (trục X) với sự trợ giúp của thang đo phù hợp. Để tạo sự đối xứng và cân bằng cho biểu đồ hoặc bất kỳ biểu diễn đồ họa nào, người ta cần cẩn thận trong việc lựa chọn khoảng cách đơn vị để biểu thị giới hạn lớp trên trục X và tần số trên trục Y.
Để biểu thị các khoảng cách này, các thang đo trên hai trục được chọn sao cho chiều cao của biểu đồ hoặc bất kỳ bản trình bày đồ họa nào khác xấp xỉ 75 phần trăm chiều rộng của nó.
Bước 4:
Khi giới hạn dưới xảy ra là một điểm số xa so với điểm gốc, hãy ngắt trục X () để chỉ ra rằng trục dọc đã được di chuyển cho thuận tiện. Sau đó bắt đầu trục X với giới hạn dưới của khoảng thời gian lớp thấp nhất.
Một biểu đồ thể hiện phân phối tần số của điểm số trong Bảng 2.12 được hiển thị trong Hình 2.1. Trong hình này, chiều cao của hình chữ nhật được hình thành trên lớp 19, 5- 29, 5 là 4 đơn vị dọc theo tỷ lệ dọc và do đó diện tích của nó trở thành 4 x 1 = 4 đơn vị vuông, bằng với tần số của lớp. Tương tự, chiều cao của các hình chữ nhật khác được hình thành trên các lớp liên tiếp được lấy tương ứng là 6, 8, 12. 9, 7 và 4.
Biểu đồ (Khoảng cách giữa các lớp):
Để lấy một ví dụ, chúng ta hãy tùy ý nhóm các lớp 150 - 154 và 155-159 thành một lớp là 150 - 159 * và 185 - 189 và 190 - 194 thành một lớp là 185 - 194 ** trong Bảng 2.13.
Khoảng thời gian của lớp thứ tư và thứ mười là gấp đôi so với các lớp còn lại. Do đó, tần số trong hai lớp này không thể so sánh với các lớp khác. Để thiết lập sự so sánh này, tần số trong các lớp lớn hơn nên được giảm một nửa hoặc chia cho hai.
Do đó, trước khi hình thành biểu đồ cho phân phối tần số với các khoảng thời gian của lớp không bằng nhau, tất cả các lớp lớn hơn phải được biểu diễn dưới dạng bội số của các lớp nhỏ hơn; và sau đó chia tần số lớp tương ứng cho các bội số này.
Sự phân chia này, sau đó, đưa ra chiều cao của hình chữ nhật như trong Bảng 2.14. Tuy nhiên, chiều cao của các hình chữ nhật khác được hình thành trên các lớp có độ dài đơn vị sẽ vẫn bằng tần số lớp tương ứng. Phân bố tần số của điểm số trong Bảng 2.14 được phản ánh trong Hình 2.3.
Ưu điểm:
1. Nó đơn giản và dễ dàng thực hiện.
2. Tất cả các lợi thế của biểu diễn đồ họa như được hiển thị trước đó được áp dụng ở đây.
Hạn chế:
1. Khó có thể xếp chồng nhiều hơn một biểu đồ trên cùng một biểu đồ.
2. Việc so sánh một số phân phối tần số không thể được thực hiện thông qua biểu đồ. Đa giác tần số phù hợp hơn nhiều cho mục đích đó.
3. Giả định rằng điểm số được phân phối đồng đều trong CI tạo ra lỗi lớn hơn khi N nhỏ hơn khi N lớn.
4. Nó không thể được làm mịn.
Phương pháp # 2. Biểu đồ thanh hoặc Biểu đồ thanh:
Biểu đồ thanh là một trong những thiết bị dễ sử dụng và phổ biến nhất để trình bày dữ liệu chuỗi rời rạc. Đây là đặc biệt thỏa đáng cho dữ liệu phân loại hoặc loạt. Chúng bao gồm một nhóm các hình chữ nhật cách đều nhau, một cho mỗi nhóm hoặc loại dữ liệu trong đó các giá trị hoặc độ lớn được biểu thị bằng chiều dài hoặc chiều cao của hình chữ nhật, chiều rộng của hình chữ nhật là tùy ý và không vật chất.
Các sơ đồ này được gọi là một chiều vì trong các sơ đồ như vậy chỉ có một chiều viz., Chiều cao (hoặc chiều dài) của hình chữ nhật được tính đến để trình bày các giá trị đã cho.
Những điểm sau đây có thể được lưu ý để vẽ sơ đồ thanh:
(i) Tất cả các thanh được vẽ trong một nghiên cứu phải có chiều rộng đồng nhất (mặc dù tùy ý) tùy thuộc vào số lượng thanh được vẽ và không gian có sẵn.
(ii) Khoảng cách phù hợp nhưng đồng nhất phải được đưa ra giữa các thanh khác nhau để làm cho sơ đồ trông hấp dẫn và thanh lịch hơn.
(iii) Chiều cao (chiều dài) của hình chữ nhật hoặc thanh được lấy tỷ lệ thuận với độ lớn của các quan sát, thang đo được chọn giữ cho độ lớn của quan sát lớn nhất.
(iv) Tất cả các thanh phải được xây dựng trên cùng một đường cơ sở.
(v) Nên viết các số liệu (cường độ) được biểu thị bằng các thanh ở đầu các thanh để cho phép người đọc có ý tưởng chính xác về giá trị mà không cần nhìn vào tỷ lệ.
(vi) Các thanh có thể được vẽ theo chiều dọc hoặc chiều ngang. Tuy nhiên, trong thực tế, các thanh dọc thường được sử dụng vì chúng mang lại sự hấp dẫn và hấp dẫn.
(vii) Bất cứ nơi nào có thể, các thanh phải được sắp xếp từ trái sang phải (từ trên xuống dưới trong trường hợp các thanh ngang) theo thứ tự độ lớn để tạo hiệu ứng đẹp mắt.
Trong một thị trấn cụ thể, tổng số trường là 24 và phân phối trường học theo cách quản lý như trong Bảng 2.15.
Đối với một biến rời rạc, đơn vị đo trên trục hoành là không quan trọng. Các lớp không liên quan với nhau. Vì vậy, các thanh được cách đều nhau và có chiều rộng bằng nhau trên trục hoành.
Tuy nhiên, chiều cao của các thanh tỷ lệ với tần số tương ứng. Biểu đồ thanh thường được sử dụng để trình bày bằng hình ảnh của dữ liệu rời rạc. Nếu hai biến được sử dụng đồng thời, thậm chí sau đó biểu đồ thanh có thể khá hiệu quả.
Ví dụ: nếu cùng với tổng số trường (quản lý khôn ngoan) số trường nam, trường nữ và trường đồng quản trị cũng được chỉ định thì điều này có thể được thực hiện trên cùng một biểu đồ bằng cách sử dụng các màu khác nhau, mỗi chỉ ra phạm trù tình dục khôn ngoan. Đối với mỗi quản lý sẽ có 4 thanh có màu khác nhau cho biết các loại khác nhau.
Phương pháp # 3. Đa giác tần số:
Một đa giác là một hình gần nhiều góc cạnh. Đa giác tần số là biểu diễn đồ họa của phân phối tần số trong đó các trung điểm của CI được vẽ theo tần số.
Hãy để chúng tôi thảo luận về cách vẽ một đa giác tần số:
Bước 1:
Vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau, đường dọc gần bên trái của tờ giấy, đường ngang gần phía dưới. Dán nhãn cho đường thẳng đứng (trục Y) OY và đường ngang (trục X) OX. Đặt O nơi hai đường thẳng giao nhau. Điểm này là nguồn gốc.
Để tạo sự đối xứng và cân bằng cho đa giác, phải cẩn thận trong việc lựa chọn khoảng cách đơn vị trên cả hai trục. Một nguyên tắc chung tốt là chọn các đơn vị X và Y sẽ làm cho chiều cao của hình xấp xỉ 75% chiều rộng của nó.
Bước 2:
Tiếp theo người ta phải chỉ ra các điểm giữa của CI trên trục hoành, thay vì chỉ ra các ranh giới của tích phân. Ở đây, điểm giữa của các khoảng ngay trước khoảng thấp nhất và ngay sau khoảng cao nhất cũng được chỉ định (trung điểm 137 và 202 tương ứng trong Bảng 2.16). Dọc theo đường thẳng đứng đánh dấu các đơn vị để biểu thị tần số của các khoảng thời gian của lớp.
Bước 3:
Tại điểm giữa của mỗi khoảng trên trục X đi lên theo hướng Y một khoảng cách bằng với số điểm trên khoảng đó. Đặt điểm tại các địa điểm này.
Bước 4:
Sau khi vẽ tất cả các điểm trên đồ thị khớp các điểm này bằng một chuỗi các đường thẳng ngắn để tạo thành đa giác tần số.
Phương pháp # 4. Đa giác tần số được làm mịn:
Một đa giác tần số cần được làm mịn:
tôi. Để giải quyết các bất thường cơ hội;
ii. Để có được khái niệm tốt hơn về cách con số có thể trông nếu dữ liệu nhiều hơn;
iii. Để biết một đa giác sẽ trông như thế nào nếu các lỗi nhóm và lỗi lấy mẫu được loại bỏ khỏi nó;
iv. Để xác định hình dạng mà nó sẽ có nếu nó đại diện cho các điều kiện được giải phóng khỏi các dao động ngẫu nhiên nhỏ.
Khi làm mịn một đa giác tần số, một loạt các đường trung bình di chuyển hoặc chạy được lấy, từ đó xác định tần số mới hoặc điều chỉnh. Để tìm một f được điều chỉnh hoặc làm mịn, hãy thêm f vào khoảng đã cho và f s trên hai khoảng liền kề (khoảng ngay bên dưới và khoảng ngay phía trên) và chia chúng cho 3.
Ví dụ: f được làm mịn trong khoảng 170-174 trong Bảng 2.17 là (8 + 10 + 6) / 3 hoặc 8, 00. Để tìm f s được làm mịn trong hai khoảng thời gian tại các cực trị của phân phối, cụ thể là 140-144 và 195-199, một quy trình hơi khác là cần thiết. Đầu tiên, chúng ta thêm 0, f vào khoảng bước dưới hoặc trên, vào f trên khoảng đã cho và với f trên khoảng liền kề và chia cho 3. Số f được làm mịn cho 140-144 là (0 + 1 + 3) / 3 là hoặc 1, 33; và f được làm mịn cho 195-199 là (2 + 1 + 0) / 3 hoặc 1.00.
Chúng ta phải lấy thêm hai CI vào 135-139 và 200-204 khác, trong đó f được lấy là 0. f của chúng được làm mịn trong mỗi trường hợp, là (0 + 0 + 1) / 3 hoặc .33 và (0 + 0 + 1) / 3 hoặc .33. Việc bao gồm hai khoảng thời gian cuối cùng này làm cho N = 50, 00 cho phân phối được làm mịn.
Nếu N lớn, làm mịn có thể không thay đổi nhiều hình dạng của biểu đồ và do đó thường không cần thiết.
Ưu điểm:
(i) Nó đơn giản và dễ dàng thực hiện.
(ii) Có thể chồng nhiều hơn một đa giác tần số trên cùng một biểu đồ bằng cách sử dụng các đường màu, đường gãy, đường chấm, v.v.
(iii) Việc so sánh một số phân phối tần số có thể dễ dàng được thực hiện thông qua các đa giác tần số.
(iv) Tất cả các lợi thế của biểu diễn đồ họa như đã thảo luận trước đây đều có thể áp dụng ở đây.
(v) Nó có thể được làm mịn. Hạn chế.
Giới hạn:
(ii) Phần của khu vực nằm trên bất kỳ khoảng thời gian nhất định nào có thể được lấy theo tỷ lệ với tần số của CI đó do sự bất thường trong bề mặt tần số.
(ii) Giả định rằng tất cả các điểm trong CI rơi vào điểm giữa của khoảng đó tạo ra lỗi lớn hơn khi N lớn hơn khi N nhỏ.
(Iii) Nó ít chính xác hơn biểu đồ ở chỗ nó không thể hiện chính xác, tức là về diện tích, tần suất trên mỗi khoảng.
Biểu đồ tần số tích lũy:
Biểu đồ tần số tích lũy là một cách khác để biểu diễn phân phối tần số bằng sơ đồ. Trước khi chúng ta có thể vẽ biểu đồ tần số tích lũy, điểm số của phân phối phải được thêm vào một cách an toàn hoặc tích lũy, như trong Bảng 2.18.
Để xác định Cum.f cho mỗi hàng, chúng ta phải tiếp tục thêm f s từ dưới lên. Để minh họa, trong phân phối điểm, tần số tích lũy đầu tiên là 1; 1 + 3, từ đầu thấp của phân phối, cho 4 là mục tiếp theo; 4 + 2 = 6; 6 + 4 = 10, v.v ... Tích lũy cuối cùng / bằng nhau, tất nhiên, bằng 50 hoặc N, tổng tần số.
Trong sơ đồ đa giác tần số, tần số trên mỗi khoảng được lấy tại điểm giữa của khoảng thời gian của lớp. Nhưng trong việc xây dựng một đường cong tần số tích lũy, mỗi tần số tích lũy được vẽ ở giới hạn trên chính xác của khoảng thời gian mà nó rơi xuống.
Điều này là do việc thêm dần dần từ dưới lên trên mỗi sóng mang tần số tích lũy cho đến giới hạn trên chính xác của khoảng thời gian của lớp. Với thang đo đã chọn, nếu chúng ta lấy các giới hạn trên của trục C dọc theo trục X và đưa trục dọc theo trục Y, chúng ta có thể vẽ biểu đồ cho phân bố tần số tích lũy.
Trong một đường cong tần số tích lũy, mỗi tần số tích lũy được vẽ ở giới hạn trên của khoảng. Để đường cong bắt đầu trên trục X, nó được bắt đầu ở 139, 5 (giới hạn trên chính xác là 134, 5-139, 5), tần số tích lũy là 0.
Đường cong phần trăm tích lũy hoặc Ogive:
Khi vẽ 'Ogive', chúng ta phải tính tần số phần trăm tích lũy ở giới hạn trên của mỗi ci 'Tần số phần trăm tích lũy' có nghĩa là phần trăm của N là Cum. Đường cong phần trăm tích lũy hoặc ogive khác với biểu đồ tần số tích lũy trong đó tần số được biểu thị bằng phần trăm tích lũy của N trên trục Y thay vì tần số tích lũy. Bảng 2.19 cho thấy tần số tích lũy có thể được biến thành tỷ lệ phần trăm của N.
Trong các cột (1), (2) và (3), các giới hạn trên của tần số và tần số được liệt kê; và trong cột (4) f s đã được tích lũy từ đầu thấp của phân phối trở lên. Các Cum này được biểu thị bằng phần trăm của N trong cột (5). Việc chuyển đổi Cum thành phần trăm tích lũy có thể được thực hiện bằng cách chia từng tích lũy / cho N; ví dụ: 2 + 40 = .05, 6 + 40 = .15, v.v.
Một phương pháp tốt hơn đặc biệt là khi có sẵn máy tính toán để xác định đối ứng trước. 1 / N, được gọi là Tỷ lệ và nhân mỗi f tích lũy theo thứ tự với phân số này. Như thể hiện trong Bảng 2.19, Tỷ lệ là 1/40 hoặc 0, 25. Do đó, nhân 2 với 0, 25, ta được 0, 05 hoặc 5%; 6 X. 025 =. 15 hoặc 15%, v.v.
Đường cong trong hình 2.8 biểu thị một ogive được vẽ từ dữ liệu trong cột (5), Bảng 2.19. Các giới hạn khoảng chính xác đã được đặt ra trên trục X và thang đo bao gồm 10 khoảng cách bằng nhau, mỗi khoảng 10% phân phối, đã được đánh dấu trên trục Y. Điểm đầu tiên trên ogive được đặt 5 đơn vị Y chỉ trên 35, 5. Điểm cuối cùng là 100 đơn vị Y trên 56, 5 giới hạn trên chính xác của khoảng thời gian lớp cao nhất.
Từ ogive chúng ta có thể đọc PR. điểm số khác nhau và tỷ lệ phần trăm:
(a) Đọc phần trăm từ ogive:
Giả sử chúng ta muốn tìm hiểu P 2 5- Như chúng ta đã biết, P 25 là một điểm dưới 25% trường hợp nói dối. Hãy để chúng tôi xác định vị trí 25 trên trục Y và sau đó vẽ một đường ngang từ điểm này. Nó sẽ gặp ogive tại một số điểm.
Từ đó vẽ một đường vuông góc trên trục X. Từ trục X chúng ta có thể đọc điểm. Từ ogive chúng ta có thể đọc rằng P 2 5 = 41, 5. Tương tự như vậy, chúng ta có thể đọc rằng P 50 = 46, 7 và P 75 = 49. Chúng ta có thể đọc các phân vị khác theo cách tương tự từ ogive.
(b) Đọc phần trăm Xếp hạng của điểm số:
Giả sử chúng ta muốn biết rằng PR của điểm số 53, 5. Chúng ta phải xác định điểm này trên trục X và vẽ một đường thẳng đứng từ điểm này. Đường thẳng sẽ gặp ogive tại một số điểm mà từ đó chúng ta có thể vẽ một đường ngang ở bên trái và đường này sẽ gặp trục Y tại một điểm. Chúng ta có thể đọc kiêm% f tại thời điểm này. Điều này kiêm% / giá trị là PR. của điểm số.
Vì vậy, chúng ta có thể đọc rằng:
PR của một số điểm, 40 = 20
PR của một điểm, 53 = 90.
Chúng ta có thể đọc PR của bất kỳ điểm nào khác từ ogive theo cách tương tự.
Phương pháp # 5. Sơ đồ hình tròn:
Biểu đồ hình tròn được sử dụng rất phổ biến để biểu thị sự cố phần trăm. Nó được gọi như vậy bởi vì toàn bộ biểu đồ trông giống như một chiếc bánh và các thành phần của chiếc bánh giống như những lát cắt từ chiếc bánh. Nó trình bày tỷ lệ phần trăm và không phải là con số tuyệt đối.
Biểu đồ hình tròn rất hữu ích trong việc hiển thị các khoản chi tiêu của Chính phủ, hoặc của một công ty, vv được phân bổ trên các đầu khác nhau. Nó cũng được sử dụng trong giảng dạy Địa lý, Khoa học, v.v.
Các bước sau đây có thể được theo sau trong việc xây dựng một sơ đồ hình tròn:
1. Vẽ một vòng tròn có kích thước phù hợp với một la bàn. Kích thước của bán kính phụ thuộc vào không gian có sẵn và các yếu tố khác.
2. Chuẩn bị dữ liệu dưới dạng% dưới các đầu khác nhau. Các% này cho các lĩnh vực khác nhau nên được chuyển thành các mức độ tương ứng trên vòng tròn.
Đối với mục đích này, giá trị góc của từng phần phụ phải được tìm ra. Chúng tôi biết rằng giá trị của tất cả các góc trên bất kỳ điểm nào đều bằng 360 ° tức là toàn bộ vòng tròn là 360 ° đại diện cho 100%. Do đó, một% có nghĩa là 360 ° / 100 = 3, 6 °.
Do đó, công thức sau đây sẽ được áp dụng để tìm giá trị góc của từng nhóm phụ:
3. Giả sử có 3 thành phần với giá trị 60% là người đạt thành tích cao, 25% là người thành công ở giữa và 15% là người thành công thấp. Do đó, chúng nên tương ứng là 216 ° (60 x 3.6 °), 90 ° (25 x 3.6 °) và 54 ° (15 x 3.6 °).
4. Khi các giá trị của tất cả các góc đã được xác định, tổng của chúng có thể không chính xác 360 ° do xấp xỉ. Nếu đây là trường hợp, một số giá trị góc có thể phải điều chỉnh một chút để làm cho tổng số bằng 360 °.
5. Đo các điểm trên vòng tròn để biểu thị kích thước của từng khu vực với sự trợ giúp của thước đo góc. Đó là một thực tế phổ biến để sắp xếp các ngành theo kích thước, với ngành lớn nhất ở trên và các ngành khác ở
trình tự chạy theo chiều kim đồng hồ. Các lĩnh vực có thể được dán nhãn. Các nhãn có thể được đặt bên trong khu vực hoặc bên ngoài vòng tròn.
