Đường cong xác suất thông thường: Tính toán, Đặc điểm và Ứng dụng

Đọc bài viết này để tìm hiểu về tính toán, đặc điểm và ứng dụng của đường cong xác suất bình thường trong thống kê.

Tính toán đường cong xác suất bình thường:

Nếu một đồng xu được ném không thiên vị, nó sẽ rơi vào đầu (H) hoặc đuôi (T). Đây là xác suất xuất hiện một cái đầu là một cơ hội trong hai. Vậy tỷ lệ xác suất của H là ½ và T là.

Tương tự như vậy, chúng ta sẽ ném hai đồng xu, xu x và xu y, có bốn cách có thể rơi.

Do đó, bốn cách có thể là - cả x và y có thể rơi H, x có thể rơi T và y H, x có thể rơi H và yT hoặc cả hai có thể rơi T.

Thể hiện bằng tỷ lệ

Xác suất hai đầu =

Xác suất của hai đuôi =

Xác suất của một H và một T =

Xác suất của một T và một H =

Do đó tỷ lệ là ¼ + + = 1, 00

Sự xuất hiện dự kiến ​​của đầu và đuôi của hai đồng tiền có thể được thể hiện như sau:

(H + T) 2 = H 2 + 2HT + T 2

Nếu chúng ta sẽ tăng số lượng xu lên ba tức là x, y và Z, có thể có tám cách sắp xếp có thể.

Sự xuất hiện dự kiến ​​của đầu và đuôi của đồng tiền có thể được thể hiện như sau:

Bằng cách này, chúng ta có thể xác định xác suất kết hợp đầu và đuôi khác nhau của bất kỳ số lượng tiền nào. Chúng tôi có thể có được xác suất của bất kỳ số lượng tiền bằng cách mở rộng nhị thức. Một biểu thức chứa hai thuật ngữ được gọi là biểu thức nhị thức. Định lý nhị thức là một công thức đại số mở rộng sức mạnh của biểu thức nhị thức dưới dạng một chuỗi.

Công thức đọc như thế này:

(H + T) n = C (n, 0) H n + C (n, 1) H n-1 T + C (n, 2) H ( n-2) T 2 dụ .

Cẩu + C (n, r) H nr T r +. + C (n, n) T nèo (11.1)

Trong đó C = Kết hợp có thể.

C (n, r) = n! / R! (n - r)!

n! nghĩa là 1 x 2 x 3 x. xn

n = Tổng số quan sát hoặc người.

r = Số lượng quan sát hoặc người thực hiện tại một thời điểm.

Do đó mở rộng nhị thức của

Nếu dữ liệu trên được vẽ trên biểu đồ dưới dạng biểu đồ và đa giác tần số, nó sẽ như dưới đây (hình 11.1)

Do đó, con số chúng tôi thu được từ việc ném 10 đồng xu (H + T) 10 là một đa giác nhiều mặt đối xứng.

Và nếu chúng ta tiếp tục tăng số lượng xu, với mỗi lần tăng, đa giác sẽ thể hiện một đường bề mặt hoàn toàn nhẵn như hình 11.2 được đưa ra dưới đây:

Đường cong hình chuông này được gọi là 'Đường cong xác suất thông thường'. Do đó, đồ thị của hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn là một đường cong hình chuông liên tục, đối xứng với giá trị trung bình được gọi là đường cong xác suất bình thường.

Trong thống kê, điều này rất quan trọng vì:

(а) Đó là sự phân phối của nhiều biến số xuất hiện tự nhiên, chẳng hạn như trí thông minh của học sinh lớp 8, chiều cao của học sinh lớp 10, v.v.

(b) Sự phân bố phương tiện của các mẫu được rút ra từ hầu hết các quần thể cha mẹ là bình thường hoặc xấp xỉ khi các mẫu đủ lớn.

Do đó đường cong bình thường có ý nghĩa lớn trong khoa học xã hội và khoa học hành vi. Trong đo lường hành vi hầu hết các khía cạnh gần đúng với phân phối bình thường. Vì vậy, Đường cong xác suất thông thường hay phổ biến nhất là NPC được sử dụng làm đường cong tham chiếu. Để hiểu được tiện ích của NPC, chúng ta phải hiểu các thuộc tính của NPC.

Đặc điểm của đường cong xác suất bình thường:

Một số đặc điểm chính của đường cong xác suất thông thường như sau:

1. Đường cong đối xứng hai bên.

Đường cong đối xứng với tọa độ của điểm trung tâm của đường cong. Nó có nghĩa là kích thước, hình dạng và độ dốc của đường cong ở một bên của đường cong giống hệt với phía bên kia của đường cong. Nếu đường cong bị cắt đôi thì phía bên tay phải của nó hoàn toàn khớp với phía bên tay trái.

2. Đường cong không có triệu chứng:

Đường cong xác suất thông thường tiếp cận trục ngang và kéo dài từ-∞ đến +. Có nghĩa là các đầu cực của đường cong có xu hướng chạm vào đường cơ sở nhưng không bao giờ chạm vào nó.

Nó được mô tả trong hình (11.3) được đưa ra dưới đây:

3. Trung bình, trung bình và chế độ:

Giá trị trung bình, Median và chế độ rơi ở điểm giữa và chúng bằng nhau về số.

4. Các điểm uốn xảy ra ở đơn vị độ lệch chuẩn 1:

Các điểm của dòng trong NPC xảy ra ở mức 1 1 đến đơn vị trên và dưới giá trị trung bình. Do đó, tại thời điểm này, đường cong thay đổi từ lồi sang lõm so với trục hoành.

5. Tổng diện tích của NPC được chia thành ± độ lệch chuẩn:

Tổng số NPC được chia thành sáu đơn vị độ lệch chuẩn. Từ trung tâm, nó được chia thành ba đơn vị độ lệch chuẩn và ba đơn vị độ lệch chuẩn.

Do đó, ± 3σ của NPC bao gồm số lượng các trường hợp khác nhau một cách riêng biệt. Giữa ± 1σ nói dối giữa 2/3 trường hợp hoặc 68, 26%, giữa ± 2σ nói dối 95, 44% trường hợp và giữa ± 3σ nói dối 99, 73% trường hợp và hơn + 3σ chỉ giảm 0, 37% trường hợp.

6. Biểu đồ Y biểu thị chiều cao của Đường cong xác suất thông thường:

Biểu đồ Y của NPC biểu thị chiều cao của đường cong. Tại trung tâm xuất hiện tối đa. Chiều cao của đường cong tại điểm trung bình hoặc điểm giữa được ký hiệu là Y 0 .

Để xác định chiều cao của đường cong tại bất kỳ điểm nào, chúng tôi sử dụng công thức sau:

7. Nó là không chính thống:

Đường cong chỉ có một điểm cực đại. Bởi vì tần số tối đa chỉ xảy ra tại một điểm.

8. Chiều cao của đường cong giảm đối xứng:

Chiều cao của đường cong giảm xuống cả hai hướng đối xứng từ điểm trung tâm. Có nghĩa là M + và M - bằng nhau nếu khoảng cách từ giá trị trung bình bằng nhau.

9. Giá trị trung bình của NPC là 18 và độ lệch chuẩn là σ:

Vì giá trị trung bình của NPC đại diện cho dân số có nghĩa là nó được đại diện bởi nhóm (Meu). Độ lệch chuẩn của đường cong được biểu thị bằng chữ Hy Lạp, .

10. Trong Đường cong xác suất thông thường, độ lệch chuẩn lớn hơn 50% so với Q:

Trong NPC, Q thường được gọi là lỗi có thể xảy ra hoặc PE.

Mối quan hệ giữa PE và a có thể được nêu ra như sau:

1 PE = .6745σ

1σ = 1.4826PE.

11. Q có thể được sử dụng như một đơn vị đo lường trong việc xác định khu vực trong một phần nhất định:

12. Độ lệch trung bình về giá trị trung bình của NPC là .798σ:

Có một mối quan hệ không đổi giữa độ lệch chuẩn và độ lệch trung bình trong NPC.

13. Các mô hình thứ tự thay đổi ngày càng tăng đến độ lệch chuẩn:

Trong một đường cong Xác suất thông thường, tọa độ phương thức thay đổi ngày càng theo độ lệch chuẩn. Độ lệch chuẩn của Đường cong Xác suất Bình thường tăng, tọa độ phương thức giảm và ngược lại.

Các ứng dụng của đường cong xác suất thông thường:

Một số ứng dụng quan trọng nhất của đường cong xác suất thông thường như sau:

Các nguyên tắc của Đường cong xác suất thông thường được áp dụng trong khoa học hành vi trong nhiều lĩnh vực khác nhau.

1. NPC được sử dụng để xác định tỷ lệ phần trăm các trường hợp trong phân phối bình thường trong giới hạn nhất định:

Đường cong xác suất thông thường giúp chúng ta xác định:

tôi. Bao nhiêu phần trăm các trường hợp rơi vào giữa hai điểm của một phân phối.

ii. Bao nhiêu phần trăm điểm nằm trên một điểm cụ thể của phân phối.

iii. Bao nhiêu phần trăm điểm nằm dưới một điểm cụ thể của phân phối.

Thí dụ:

Cho một phân phối điểm với giá trị trung bình là 24 và σ là 8. Giả sử tính bình thường, tỷ lệ phần trăm của các trường hợp sẽ nằm trong khoảng từ 16 đến 32.

Dung dịch:

Ở đây trước hết chúng ta phải chuyển đổi cả điểm 16 và 32 thành điểm chuẩn.

Nhập vào Bảng A, khu vực bảng trong NPC, người ta thấy rằng 34, 13 trường hợp nằm giữa giá trị trung bình và - 1σ và 34, 13 nằm giữa giá trị trung bình và + 1σ. Vì vậy, ± bao gồm 68, 26% trường hợp. Vì vậy, 68, 25% trường hợp sẽ rơi vào khoảng từ 16 đến 32.

Thí dụ:

Cho một phân phối điểm với giá trị trung bình là 40 và σ là 8. Giả sử tính bình thường, tỷ lệ phần trăm của các trường hợp sẽ nằm ở trên và dưới điểm 36.

Dung dịch:

Trước hết chúng ta phải chuyển đổi điểm số 36 thành điểm số chuẩn.

Bước vào Bảng A, khu vực bảng trong NPC, người ta thấy rằng 19, 15% trường hợp nằm giữa Trung bình và -.5σ. Do đó, tổng tỷ lệ các trường hợp trên điểm 36 là 50 + 19, 15 = 69, 15% và dưới điểm 36 là 50-19, 15 = 30, 85%. Vì vậy, trong phân phối 69, 15% trường hợp cao hơn điểm 36 và 30, 85% điểm dưới điểm 36.

2. NPC được sử dụng để xác định giá trị của điểm có thứ hạng phần trăm được đưa ra:

Bằng cách sử dụng bảng NPC, chúng tôi có thể xác định điểm số thô của cá nhân nếu xếp hạng phần trăm được đưa ra.

Thí dụ:

Trong một phân phối điểm của thứ hạng phần trăm của Pink Pink trong thống kê là 65. Giá trị trung bình của phân phối là 55 với độ lệch chuẩn là 10. Tìm nhưng điểm số thô của Pinky trong Thống kê.

Dung dịch:

Vì thứ hạng phần trăm của Pinky là 65 nên trong phân phối bình thường, vị trí của cô ấy cao hơn 35% so với giá trị trung bình. Bằng cách nhập vào bảng 'A', chúng tôi thấy rằng 35% từ giá trị trung bình là + 1, 04.

Bằng cách đặt giá trị trong điểm 'Z'.

3. NPC được sử dụng để tìm các giới hạn trong phân phối bình thường bao gồm một tỷ lệ phần trăm nhất định của các trường hợp:

Khi phân phối thường được phân phối và những gì chúng ta biết về phân phối là Trung bình và độ lệch chuẩn tại thời điểm đó bằng cách sử dụng vùng bảng trong NPC, chúng ta có thể xác định các giới hạn bao gồm một tỷ lệ phần trăm nhất định.

Thí dụ:

Cho một phân phối điểm với giá trị trung bình là 20 và σ là 5. Nếu chúng ta giả sử tính bình thường, giới hạn nào sẽ bao gồm 75% trường hợp ở giữa.

Dung dịch:

Trong một phân phối bình thường, 75% trường hợp trung bình bao gồm 37, 5% trường hợp trên trung bình và 37, 5% trường hợp dưới mức trung bình. Từ Bảng A, chúng ta có thể nói rằng 37, 5% trường hợp bao gồm 1, 15 σ đơn vị. Do đó, 75% trường hợp trung bình nằm giữa đơn vị trung bình và ± 1, 15.

Vì vậy, trong phân phối này, 75% trường hợp sẽ bao gồm các giới hạn 14, 25 đến 25, 75.

4. Nó được sử dụng để so sánh hai bản phân phối về mặt chồng chéo:

Nếu điểm của hai nhóm trên một biến cụ thể thường được phân phối. Những gì chúng ta biết về nhóm là độ lệch trung bình và độ lệch chuẩn của cả hai nhóm. Và chúng tôi muốn biết nhóm thứ nhất vượt quá nhóm thứ hai hoặc ngược lại tại thời điểm đó, chúng tôi có thể xác định điều này bằng cách sử dụng vùng bảng trong NPC.

5. NPC giúp chúng tôi chia một nhóm thành các nhóm phụ theo khả năng nhất định và chỉ định điểm:

Khi chúng tôi muốn chia một nhóm lớn thành các nhóm phụ nhất định theo một số khả năng được chỉ định tại thời điểm đó, chúng tôi sử dụng các đơn vị độ lệch chuẩn của NPC làm đơn vị tỷ lệ.

Thí dụ:

Một bài kiểm tra thành tích đã được thực hiện cho 600 học sinh lớp 8. Giáo viên muốn chỉ định những học sinh này vào 4 lớp là A, B, C và D theo hiệu suất của họ trong bài kiểm tra. Giả sử tính quy tắc của phân phối điểm tính toán số lượng học sinh có thể được đặt trong mỗi nhóm.

Dung dịch:

Khu vực dưới một NPC được chia thành đơn vị ± 3σ hoặc 6σ đơn vị.

Ở đây chúng tôi phải chia các sinh viên thành 4 phần.

Vì vậy, mỗi phần có

Vì vậy, nếu chúng ta sẽ phân phối các phần theo thứ tự công đức.

Phần A sẽ nằm trong khoảng 1, 5σ đến 3σ

Mục B sẽ nằm trong phạm vi trung bình đến 1, 5σ

Mục C sẽ nằm trong phạm vi có nghĩa là đối với1

và Phần D sẽ có trong Phần1.5σ đến - 3σ.

6. NPC giúp xác định độ khó tương đối của các mục hoặc sự cố kiểm tra:

Khi được biết rằng bao nhiêu phần trăm học sinh đã giải quyết thành công một vấn đề, chúng ta có thể xác định mức độ khó của mục hoặc vấn đề bằng cách sử dụng vùng bảng trong NPC.

7. NPC rất hữu ích để bình thường hóa phân phối tần số:

Để bình thường hóa phân phối tần số, chúng tôi sử dụng Đường cong xác suất thông thường. Đối với quá trình chuẩn hóa một bài kiểm tra tâm lý, quá trình này là rất cần thiết.

8. Để kiểm tra tầm quan trọng của các quan sát thí nghiệm, chúng tôi sử dụng NPC:

Trong một thử nghiệm, chúng tôi kiểm tra mối quan hệ giữa các biến cho dù đây là do biến động cơ hội hoặc lỗi của quy trình lấy mẫu hoặc đó là mối quan hệ thực sự. Điều này được thực hiện với sự trợ giúp của khu vực bảng trong NPC.

9. NPC được sử dụng để khái quát về dân số từ mẫu:

Chúng tôi tính toán sai số chuẩn của giá trị trung bình, sai số chuẩn của độ lệch chuẩn và các số liệu thống kê khác để khái quát về dân số mà từ đó mẫu được rút ra. Đối với tính toán này, chúng tôi sử dụng vùng bảng trong NPC.