Xu hướng trung tâm: Ý nghĩa, công dụng và biện pháp
Xu hướng trung tâm: Ý nghĩa, công dụng và biện pháp!
Ý nghĩa của xu hướng trung ương:
Các biện pháp của xu hướng trung tâm là sự kết hợp của hai từ tức là 'biện pháp' và 'xu hướng trung tâm'. Đo có nghĩa là phương pháp và xu hướng trung tâm có nghĩa là giá trị trung bình của bất kỳ chuỗi thống kê nào. Do đó, chúng ta có thể nói rằng xu hướng trung tâm có nghĩa là các phương pháp tìm ra giá trị trung tâm hoặc giá trị trung bình của một chuỗi thống kê thông tin định lượng.
JP Guilford đã chỉ ra rằng trung bình là một giá trị trung tâm của một nhóm các quan sát hoặc cá nhân.
Theo Clark, Average là một nỗ lực tìm kiếm một con số duy nhất để mô tả toàn bộ con số.
Theo cách nói của AE Waugh, Trung bình là một giá trị được chọn từ một nhóm các giá trị để thể hiện chúng theo cùng một cách mà một giá trị được cho là đại diện cho cả nhóm mà nó là một phần, như là một phần, điển hình cho tất cả các giá trị trong nhóm."
Do đó, có thể nói rằng một xu hướng trung bình hoặc trung tâm là một con số duy nhất được tính toán từ một phân phối nhất định để đưa ra một ý tưởng trung tâm về toàn bộ chuỗi. Giá trị trung bình nằm trong giá trị tối đa và tối thiểu trong chuỗi.
Công dụng của xu hướng trung ương:
Xu hướng trung tâm là cần thiết cho các lý do sau:
1. Trung bình cung cấp bức tranh tổng thể của bộ truyện. Chúng ta không thể nhớ từng sự kiện liên quan đến một lĩnh vực điều tra.
2. Giá trị trung bình cung cấp một bức tranh rõ ràng về lĩnh vực đang nghiên cứu để được hướng dẫn và kết luận cần thiết.
3. Nó đưa ra một mô tả ngắn gọn về hiệu suất của toàn bộ nhóm và nó cho phép chúng tôi so sánh hai hoặc nhiều nhóm về hiệu suất điển hình.
Biện pháp của xu hướng trung ương:
Có ba biện pháp của xu hướng trung tâm, chẳng hạn như:
(1) Trung bình số học.
(2) Trung bình và
(3) Chế độ.
(1) Trung bình (M):
Đối với một người bình thường, trung bình có nghĩa là trung bình số học. Nó được sử dụng phổ biến nhất vì tính đơn giản, cứng nhắc của nó, v.v.
Trung bình số học được định nghĩa là thương số có được bằng cách chia tổng giá trị của một biến cho tổng số quan sát hoặc vật phẩm của chúng.
II.E. Garett (1985 P) định nghĩa trung bình Số học Trung bình số học hay đơn giản hơn là trung bình là tổng của các điểm hoặc số đo riêng biệt chia cho số của họ.
Phương pháp tính trung bình:
Có một số phương pháp để tính trung bình. Nhưng ở đây chúng ta sẽ chỉ thảo luận về hai phương pháp.
Họ là như sau:
1. Phương pháp trực tiếp hoặc Phương pháp dài.
2. Phương pháp ngắn hoặc phương pháp trung bình giả định.
1. Phương pháp trực tiếp hoặc Phương pháp dài:
Trong phương pháp này, giá trị trung bình được tính trực tiếp từ chuỗi đã cho. Trong phương pháp này, chúng ta có thể tính giá trị trung bình từ dữ liệu chưa được nhóm và công thức tính giá trị trung bình từ dữ liệu chưa được nhóm.
Công thức tính giá trị trung bình từ dữ liệu chưa được nhóm là:
Từ dữ liệu được nhóm, giá trị trung bình được tính theo công thức sau:
Hình minh họa:
Tính giá trị trung bình từ các phân phối tần số sau bằng phương pháp trực tiếp:
2. Phương pháp ngắn hoặc Phương pháp trung bình giả định:
Nó được gọi là phương pháp trung bình giả định vì thay vì tính giá trị trung bình từ các điểm giữa chúng ta lấy trung bình giả định để tìm ra giá trị trung bình. Đầu tiên chúng tôi 'đoán' hoặc giả sử một giá trị trung bình và sau đó chúng tôi áp dụng hiệu chỉnh cho giá trị giả định này để tìm giá trị chính xác.
Công thức để tìm ra giá trị trung bình trong phương pháp trung bình giả định được đưa ra dưới đây:
Dưới đây được thảo luận các bước để tính giá trị trung bình trong phương pháp ngắn:
Bước 1:
Giả sử bất kỳ một điểm giữa của phân phối là trung bình. Nhưng kế hoạch tốt nhất là lấy điểm giữa của một khoảng gần trung tâm có tần số lớn nhất.
Bước 2:
Tìm ra cột x ', x' là độ lệch giữa điểm và giá trị trung bình giả định.
Ở đây chúng ta có thể tìm ra x 'bằng cách sử dụng công thức sau:
Bước 3:
Tìm ra cột fx . Nó được tìm thấy bằng cách nhân cột f với cột x '.
Bước 4:
Tìm ra ∑ f x. Thêm tất cả các giá trị dương và giá trị âm riêng biệt. Sau đó tìm ra tổng đại số là ∑ f x.
Bước 5:
Tìm ra giá trị trung bình bằng cách sử dụng công thức 9.4.
Hình minh họa:
Tìm ra giá trị trung bình của phân phối trong phương pháp trung bình giả định.
Trong một bài kiểm tra toán học, điểm của 50 học sinh đã được trình bày trong bản phân phối sau:
Ở đây chúng tôi đã lấy 44, 5 điểm giữa của Ci 40 Wap49 như là trung bình giả định. Bây giờ chúng ta có thể tìm ra ý nghĩa bằng cách sử dụng công thức Cốt 8.4.
Ý nghĩa kết hợp:
Các phương tiện riêng biệt của một số chuỗi khác nhau có thể tạo ra giá trị trung bình số học kết hợp của tất cả các chuỗi khác nhau khi số lượng vật phẩm trong mỗi chuỗi đó được đưa ra. Điều này được tính theo công thức sau đây khi số lượng nhóm là n.
Hình minh họa:
Dưới đây được đưa ra trung bình của học sinh lớp VI của 4 trường. Ý nghĩa của học sinh lớp VI nói chung là gì.
Chúng ta có thể tìm ra ý nghĩa kết hợp bằng cách áp dụng công thức 9.5:
Vậy trung bình của tất cả học sinh lớp VI là 55, 25.
Công dụng của ý nghĩa:
Có một số quy tắc chung nhất định để sử dụng trung bình. Một số sử dụng như sau:
1. Giá trị trung bình là trọng tâm trong phân phối và mỗi điểm đóng góp vào việc xác định nó khi sự lan truyền của điểm số đối xứng quanh một điểm trung tâm.
2. Trung bình ổn định hơn trung vị và chế độ. Vì vậy, khi các biện pháp của xu hướng trung tâm có độ ổn định lớn nhất được sử dụng có nghĩa là được sử dụng.
3. Giá trị trung bình được sử dụng để tính toán các số liệu thống kê khác như SD, hệ số tương quan, ANOVA, ANCOVA, v.v.
Ưu điểm của ý nghĩa:
1. Ý nghĩa được xác định một cách cứng nhắc để không có câu hỏi về sự hiểu lầm về ý nghĩa và bản chất của nó.
2. Đây là xu hướng trung tâm phổ biến nhất vì nó dễ hiểu.
3. Dễ dàng tính toán.
4. Nó bao gồm tất cả các điểm của một phân phối.
5. Nó không bị ảnh hưởng bởi việc lấy mẫu để kết quả là đáng tin cậy.
6. Trung bình có khả năng điều trị đại số hơn nữa để các số liệu thống kê khác như phân tán, tương quan, độ lệch đòi hỏi phải có ý nghĩa để tính toán.
Ưu điểm của ý nghĩa:
1. Trung bình bị ảnh hưởng bởi điểm số cực đoan.
2. Đôi khi giá trị trung bình là một giá trị không có trong chuỗi.
3. Đôi khi nó mang lại những giá trị vô lý. Ví dụ, có 41, 44 và 42 học sinh lớp VIII, IX và X của một trường. Vậy học sinh trung bình mỗi lớp là 42, 33. Nó không bao giờ có thể.
4. Trong trường hợp các khoảng thời gian của lớp kết thúc mở, nó không thể được tính mà không giả sử kích thước của các lớp kết thúc mở.
(2) Trung vị:
Median là một thước đo khác của xu hướng trung tâm. Nó là một trung bình vị trí vì giá trị của nó được xác định với tham chiếu đến vị trí của nó trong cột giá trị của một chuỗi. Trong Từ điển thống kê Collins, nó được định nghĩa là giá trị trung bình trong một bản phân phối, bên dưới và bên trên có giá trị nằm với tổng tần số hoặc xác suất bằng nhau.
D. Patri (1996) định nghĩa giá trị trung bình là giá trị của mục giữa của chuỗi được sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Do đó, nó chia một loạt thành hai phần bằng nhau.
Trung vị có thể được định nghĩa là một điểm trên phân phối dưới đó năm mươi phần trăm trường hợp và trên đó năm mươi phần trăm trường hợp nằm.
Tính toán trung bình từ dữ liệu được nhóm lại:
Trong trường hợp dữ liệu chưa được nhóm, điểm số được sắp xếp theo thứ tự kích thước. Sau đó, điểm giữa được tìm ra, đó là trung vị. Trong quá trình này, hai tình huống phát sinh khi tính toán trung vị, (a) N là số lẻ (b) N chẵn Đầu tiên chúng ta sẽ thảo luận cách tính trung vị (Mdn) khi N là số lẻ.
Hình minh họa:
Trong một lớp 9, học sinh đã đạt điểm an toàn sau bài kiểm tra từ vựng. Tìm ra trung vị.
Các nhãn hiệu 6, 12, 8, 13, 7, 10, 7, 11, 9
Trong dữ liệu chưa được nhóm
Hãy để chúng tôi thảo luận về cách tính MDN khi N chẵn.
Hình minh họa:
Tính toán MDN của dữ liệu sau đây của 10 học sinh của một bài kiểm tra chính tả bằng tiếng Anh.
Mác = 7, 6, 8, 12, 7. 9, 11, 10, 13, 14
Để giải quyết vấn đề chúng ta phải sắp xếp theo thứ tự kích thước
6, 7, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14
Bây giờ áp dụng công thức 8.6 chúng tôi nhận được;
Tính toán trung vị từ dữ liệu được nhóm:
Chúng ta biết rằng trung vị là một điểm phân phối phân phối thành hai nửa bằng nhau.
Công thức để tìm ra trung vị từ dữ liệu được nhóm lại như sau:
Trong đó L = giới hạn dưới của Lớp trung vị.
Lớp trung vị là lớp có tần số tích lũy lớn hơn giá trị của N / 2 tức là N / 2> cf (tần số tích lũy)
N / 2 = Một nửa tổng số điểm.
F = Tần số tích lũy của lớp bên trong bên dưới lớp trung vị.
fm = Tần số của lớp trung vị.
i = Kích thước của lớp bên trong.
Các bước để tính mDN từ dữ liệu được nhóm:
Bước 1.
Tính N / 2 tức là 50% phân phối.
Bước 2:
Tính tần số tích lũy của phân phối từ cấp thấp hơn.
Bước 3:
Tìm hiểu lớp mdn. Tần suất tích lũy của khoảng thời gian trong đó N / 2> cf
Bước 4:
Tìm ra F tần số tích lũy bên dưới lớp mdn.
Bước 5:
Tìm ra f m . và đặt tất cả các giá trị trong công thức.
Hình minh họa:
Tìm ra trung vị của phân phối.
Dưới đây được cho điểm của 40 học sinh trong một bài kiểm tra toán học:
L = 59, 5. Bởi vì N / 2 tức là 20 được bao gồm trong tần số tích lũy của khoảng thời gian của lớp 60 Wap61 và các giới hạn chính xác của Ci = 59, 5 Wap61.5.
F = 17. Tần số tích lũy bên dưới lớp mdn.
fm = 7. Tần số chính xác của lớp mdn.
i = 2. Kích thước của khoảng thời gian trong lớp.
Bây giờ đưa giá trị vào công thức
Mdn của phân phối là 60, 63.
Mdn cũng có thể được tính từ giới hạn trên của phân phối. Công thức để tìm ra mdn bằng cách lấy giới hạn trên đọc như thế này.
Trong đó U = Giới hạn trên của lớp Mdn.
F 1 = Tần số tích lũy của khoảng thời gian trên lớp Mdn.
fm = Tần số của lớp trung vị.
i = Kích thước của khoảng thời gian trong lớp.
Các bước:
Trong trường hợp tính toán MDN từ giới hạn trên, sự khác biệt duy nhất là chúng ta phải tính tần số tích lũy từ đầu trên.
Hình minh họa:
U = 61, 5. Bởi vì tần số tích lũy 23 bao gồm N / 2 tức là 20.
F = 16. Tần số tích lũy của khoảng thời gian trên lớp Mdn.
fm = 7 tần số của lớp trung vị.
i = 2
MDN là 60, 36.
Ngoài ra còn có một số trường hợp đặc biệt của trung bình tính toán. Đây là khi phân phối tần số chứa các khoảng trống và khi các khoảng thời gian của lớp được mở kết thúc. Trước hết chúng ta sẽ thảo luận khi có khoảng trống trong phân phối tần số.
Khi có các tần số 0 liên tiếp trên các khoảng thời gian trong đó MDN nằm, khó khăn sẽ phát sinh để tìm ra lớp MDN. Trong trường hợp này, chúng tôi thêm các khoảng tần số 0 vào các khoảng trên và dưới lớp.
Hình minh họa sau đây giải thích quy trình rõ ràng:
Hình minh họa:
Tìm hiểu MDN của loạt bài sau:
L = 49, 5. Giới hạn dưới của Ci trong đó Ci lớn hơn N / 2.
F = 4 Cf của Ci bên dưới lớp Mdn
f m = 2. Tần số của lớp MDN.
i = 10. Kích thước của Ci
Đưa các giá trị vào công thức 8.7.
Vậy MDN của phân phối là 57.
Tình huống thứ hai là, khi có các khoảng thời gian kết thúc mở ở cả hai đầu. Trong trường hợp này, các đầu mở có thể được giữ mở hoặc nó có thể được chuyển đổi thành các lớp cụ thể. Một minh họa được đưa ra dưới đây.
Hình minh họa:
30 học sinh đã bảo đảm các điểm sau trong một bài kiểm tra toán học. 4 sinh viên đã bảo đảm dưới 10 điểm. 6 học sinh có điểm an toàn trong khoảng từ 10 đến 20, 10 học sinh trong khoảng 20 trên 30, 30 học sinh từ 30 đến 40, 7 học sinh từ 40 đến 50 và 3 học sinh trên 50. Tìm hiểu MDN.
L = 19, 5. Giới hạn dưới của lớp Mdn tức là 20 Cung30.
F = 10. Cf của Ci bên dưới lớp Mdn.
fm = 10
tôi = 10
Vậy MDN của phân phối là 28, 5.
Công dụng của Median:
1. Trung vị được sử dụng khi cần trung điểm chính xác của phân phối hoặc muốn có 50% điểm.
2. Khi điểm số cực đoan ảnh hưởng đến giá trị trung bình tại thời điểm đó trung vị là thước đo tốt nhất của xu hướng trung tâm.
3. Trung bình được sử dụng khi yêu cầu một số điểm nhất định sẽ ảnh hưởng đến xu hướng trung tâm, nhưng tất cả những gì được biết về chúng là chúng ở trên hoặc dưới trung vị.
4. Median được sử dụng khi các lớp được mở kết thúc hoặc nó có kích thước ô không bằng nhau.
Ưu điểm của Median:
1. Nó rất dễ dàng để tính toán và hiểu.
2. Tất cả các quan sát là không cần thiết cho tính toán của nó.
3. Điểm cực trị không ảnh hưởng đến trung vị.
4. Nó có thể được xác định từ loạt kết thúc mở.
5. Nó có thể được xác định từ các khoảng thời gian không bằng nhau.
Những điểm trừ của Median:
1. Nó không được định nghĩa cứng nhắc như trung bình vì giá trị của nó không thể được tính toán mà nằm.
2. Nó không bao gồm tất cả các quan sát.
3. Nó không thể được điều trị thêm theo đại số như trung bình.
4. Nó yêu cầu sắp xếp điểm số hoặc khoảng thời gian theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần.
5. Đôi khi nó tạo ra một giá trị không được tìm thấy trong chuỗi.
(3) Chế độ:
Chế độ là điểm số xảy ra thường xuyên nhất trong một bản phân phối. Như một trung bình, nó đại diện cho giá trị tiêu biểu nhất của một chuỗi gần như trùng khớp với các mục hiện có. Nó không bao giờ bị ảnh hưởng bởi các điểm cực trị mà bởi tần số cực đoan của các giá trị. Để xác định chế độ phương pháp khác nhau là có.
Một số phương pháp quan trọng được thảo luận dưới đây:
Phương pháp xác định chế độ:
1. Phương pháp kiểm tra
2. Phương pháp nhóm
3. Phương pháp quan hệ thực nghiệm
1. Phương pháp kiểm tra:
Trong chế độ phương thức này được xác định chỉ bằng quan sát. Ở đây chế độ được xác định bằng cách quan sát điểm số xảy ra thường xuyên nhất hoặc khoảng thời gian của lớp mà theo đó tần số tối đa được lấy là lớp phương thức. Khi hai giá trị hoặc khoảng thời gian lớp như vậy có cùng tần suất xuất hiện hoặc tần số, cả điểm số hoặc khoảng thời gian của lớp đều được lấy làm chế độ. ' Và phân phối được gọi là phân phối hai phương thức. Nếu có nhiều hơn hai giá trị hoặc khoảng thời gian như vậy thì nó được liên minh dưới dạng phân phối đa phương thức.
2. Phương pháp nhóm:
Khi chênh lệch giá trị giữa tần số cao nhất và tần số cao nhất tiếp theo là rất thấp tại thời điểm đó, việc xác định chế độ trong phương pháp kiểm tra là không an toàn. Trong trường hợp nghi ngờ như vậy đã sử dụng phương pháp nhóm.
Trong phương pháp này trước tiên, một bảng nhóm hoặc một tuyên bố nhóm các tần số được chuẩn bị. Trong câu lệnh này, đặt các giá trị hoặc các lớp của các giá trị trong cột bên trái và tần số tương ứng của chúng trong cột tiếp theo. Trong cột tiếp theo (2), các tần số trong twos bắt đầu từ tần số đầu tiên. Sau đó, trong nhóm cột thứ ba, tần số trong twos bắt đầu từ tần số thứ hai. Trong nhóm cột tiếp theo, tần số trong ba bắt đầu từ tần số 1.
Trong nhóm cột tiếp theo, tần số trong ba bắt đầu từ tần số 2. Trong nhóm cột cuối cùng, tần số trong ba bắt đầu từ tần số thứ 3. Khi nhóm kết thúc, xác định (các) con số tối đa của mỗi trong số 6 cột bằng cách đặt một vòng tròn.
Bước tiếp theo là chuẩn bị một bảng phân tích để xác định giá trị phương thức hoặc lớp phương thức. Trong bảng này, các giá trị phương thức có thể xảy ra được trình bày ở hàng ngang trên cùng dưới các cột khác nhau và các số cột khác nhau sẽ được đặt ở bên trái của bảng.
Các giá trị hiển thị tần số được nhóm tối đa trong bảng nhóm sẽ được xác định bằng một dấu so với cột tương ứng. Số lượng các dấu như vậy được đặt dưới các cột giá trị có thể xảy ra sẽ được tính tổng ở cuối bảng này. Giá trị có thể xảy ra cho thấy mức tối đa của tổng số đó sẽ được xác định là giá trị phương thức của lớp phương thức trong trường hợp có thể.
Hình minh họa sau đây sẽ cung cấp một sự hiểu biết tốt hơn:
Hình minh họa:
Bảng phân tích ở trên cho thấy xung quanh điểm 60, các cụm tối đa tức là tổng 4. Vì vậy, ở đây 60 là giá trị phương thức.
Khi dữ liệu nằm trong chuỗi liên tục, chúng ta có thể tính toán chế độ bằng cách áp dụng công thức sau:
Trong đó M 0 = Chế độ
L 0 = Giới hạn dưới của lớp phương thức
f 2 = tần số của lớp phương thức thành công.
f 0 = tần số của lớp trước lớp phương thức.
i = Kích thước của khoảng thời gian trong lớp.
Hình minh họa:
Từ các dữ liệu sau, xác định chế độ:
Dung dịch:
Ở đây, khoảng 20 lớp 20 có tần số cao nhất. Vì vậy, nó có thể được coi là lớp phương thức
Đây:
3. Phương pháp quan hệ thực nghiệm:
Đây là phương pháp xác định chế độ hiệu quả nhất. Giáo sư Karl Pearson đã dự tính phương pháp này. Giáo sư Pearson đã phát hiện ra rằng trong một chuỗi không đối xứng hoặc sai lệch vừa phải, một mối quan hệ thích hợp tồn tại giữa giá trị trung bình, trung bình và chế độ. Trong chuỗi như vậy, khoảng cách giữa giá trị trung bình và trung bình là 1/3 khoảng cách giữa giá trị trung bình và chế độ.
Hình minh họa:
Tìm hiểu Chế độ từ phân phối được đưa ra ở trên.
Dung dịch:
Giá trị trung bình của phân phối là 25, 94
Trung vị của phân phối là 23, 83
M 0 = 3 trung bình 2 có nghĩa là
M 0 = 3 X 23.83 Chơi2 x 25.94
= 71, 49
= 19, 61 (xấp xỉ)
Công dụng của Chế độ:
Chế độ được sử dụng:
(i) Khi chúng ta muốn một biện pháp nhanh chóng và gần đúng về xu hướng trung tâm.
(ii) Khi chúng ta muốn một thước đo của xu hướng trung tâm nên là giá trị tiêu biểu. Ví dụ khi chúng ta muốn biết phong cách ăn mặc điển hình của phụ nữ Ấn Độ tức là phong cách ăn mặc phổ biến nhất. Như thế này, điểm trung bình của một lớp được gọi là phương thức.
Ưu điểm của chế độ:
1. Chế độ cho giá trị đại diện nhất của một chuỗi.
2. Chế độ không bị ảnh hưởng bởi bất kỳ điểm số cực đoan như trung bình.
3. Nó có thể được xác định từ một khoảng thời gian kết thúc mở.
4. Nó giúp phân tích dữ liệu định tính.
5. Chế độ cũng có thể được xác định bằng đồ họa thông qua biểu đồ hoặc đa giác tần số.
6. Chế độ rất dễ hiểu.
Yêu cầu:
1. Chế độ không được định nghĩa cứng nhắc như trung bình. Trong một số trường hợp nhất định, nó có thể đi ra với kết quả khác nhau.
2. Nó không bao gồm tất cả các quan sát phân phối mà tập trung vào tần số của các mặt hàng.
3. Điều trị đại số hơn nữa không thể được thực hiện với chế độ như trung bình.
4. Trong các trường hợp đa phương thức và lưỡng kim rất khó xác định.
5. Chế độ không thể được xác định từ các khoảng thời gian lớp không bằng nhau.
6. Có các phương pháp khác nhau và các công thức khác nhau mang lại kết quả khác nhau của chế độ và do đó, nó được nhận xét đúng là trung bình được xác định xấu nhất.
